創新課時作業本九年級數學蘇科版
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16. 定義:若兩個一元二次方程有且只有一個相同的實數根,我們就稱這兩個方程為"同伴方程".例如$x^{2}=4$和$(x-2)(x+3)=0$有且只有一個相同的實數根$x=2$,所以這兩個方程為"同伴方程".
(1)根據所學定義,下列方程屬于"同伴方程"的有
①③
；(只填寫序號即可)
①$(x-1)^{2}=9$；②$x^{2}+4x+4=0$；③$(x+4)(x-2)=0$
(2)關于x的一元二次方程$x^{2}-2x=0$與$x^{2}+3x+m-1=0$為"同伴方程",求m的值；
(3)若關于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$同時滿足$a+b+c=0$和$a-b+c=0$,且與$(x+2)(x-n)=0$互為"同伴方程",求n的值.
答案：(1)①③
解析：①的根為$x = 4$或$x=-2$；②的根為$x=-2$（重根）；③的根為$x=-4$或$x = 2$。①與③有且只有一個相同根$x=-2$。
(2)$m = 1$或$m=-9$
解析：方程$x^{2}-2x = 0$的根為$x = 0$或$x = 2$。當$x = 0$是公共根時，$0 + 0 + m - 1=0$，$m = 1$；當$x = 2$是公共根時，$4 + 6 + m - 1=0$，$m=-9$。
(3)$n = 1$或$n=-1$
解析：由$a + b + c = 0$和$a - b + c = 0$得方程的根為$x = 1$和$x=-1$。方程$(x + 2)(x - n)=0$的根為$x=-2$或$x = n$。當$n = 1$或$n=-1$時，兩方程有且只有一個公共根。
