創新課時作業本九年級數學蘇科版
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(1)求證：CD是⊙O的切線；
證明：連接OC，因為AB=AE，所以∠B=∠E。因為OB=OC，所以∠B=∠OCB，所以∠OCB=∠E，所以OC//AE。因為CD⊥AE，所以OC⊥CD，又OC是半徑，所以CD是⊙O的切線。
(2)若AB=10，BC=6，求CD的長.
解：連接AC，因為AB是直徑，所以∠ACB=90°。AB=10，BC=6，所以AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。因為AB=AE=10，所以BE=2BC=12（等腰三角形三線合一）。S△ABE=$\frac{1}{2}BE\cdot AC=\frac{1}{2}×12×8=48$，又S△ABE=$\frac{1}{2}AE\cdot CD$，即48=$\frac{1}{2}×10× CD$，解得CD=
$\frac{48}{5}$（或9.6）
。
答案：(1) 連接OC，因為AB=AE，所以∠B=∠E。因為OB=OC，所以∠B=∠OCB，所以∠OCB=∠E，所以OC//AE。因為CD⊥AE，所以OC⊥CD，又OC是半徑，所以CD是⊙O的切線。
(2) 連接AC，因為AB是直徑，所以∠ACB=90°。AB=10，BC=6，所以AC=$\sqrt{AB^2 - BC^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$。因為AB=AE=10，所以BE=2BC=12（等腰三角形三線合一）。S△ABE=$\frac{1}{2}BE\cdot AC=\frac{1}{2}×12×8=48$，又S△ABE=$\frac{1}{2}AE\cdot CD$，即48=$\frac{1}{2}×10× CD$，解得CD=$\frac{48}{5}=9.6$。
如圖，AB是⊙O的直徑，點M是△ABC的內心，連接BM并延長交AC于點F，交⊙O于點E，連接OE.
(1)OD=$\frac{1}{2}$BC；
(2)EM=EA.
答案：(1) 連接CE，因為M是△ABC的內心，所以BM平分∠ABC，所以∠ABE=∠CBE，所以弧AE=弧CE，所以OE垂直平分AC（垂徑定理）。設OE與AC交于點D，則AD=CD，OD是△ABC的中位線，所以OD=$\frac{1}{2}$BC。
(2) 連接AM，因為M是內心，所以AM平分∠BAC，∠BAM=∠CAM。∠EMA=∠EBA + ∠BAM=∠CBE + ∠CAM，∠EAM=∠EAC + ∠CAM，因為弧AE=弧CE，所以∠EAC=∠CBE，所以∠EMA=∠EAM，所以EM=EA。
13. 如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，點P為$\widehat{ED}$上的一點，則∠APC的度數為（
C
）
A. 36°
B. 60°
C. 72°
D. 75°
答案：C
正五邊形的中心角為$\frac{360°}{5}=72°$，所以弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA=72°。點P在$\widehat{ED}$上，設弧EP=m，弧PD=n，m + n=72°，則∠APC=$\frac{1}{2}$(弧AB + 弧BC)= $\frac{1}{2}$(72° + 72°)=72°（無論P在$\widehat{ED}$上何處，∠APC所對的弧為弧ABC=144°，所以∠APC=72°）。
14. 如圖，正六邊形ABCDEF中，對角線BE的長為4，則△BDE的面積為______
$2\sqrt{3}$
。
答案：$2\sqrt{3}$
正六邊形邊長等于外接圓半徑，設邊長為a，BE是對角線，BE=2a×sin60°=a$\sqrt{3}=4$，解得a=$\frac{4}{\sqrt{3}}$。BD是直徑=2a=$\frac{8}{\sqrt{3}}$，DE=a=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，∠BDE=60°（正六邊形內角），所以S△BDE=$\frac{1}{2}BD\cdot DE\cdot\sin60°=\frac{1}{2}×\frac{8}{\sqrt{3}}×\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
15. 如圖，四個全等的正八邊形和一個正方形拼成的圖案中，正方形的面積為4，則一個正八邊形的面積為
$8 + 8\sqrt{2}$
.
答案：$8 + 8\sqrt{2}$
正方形面積為4，邊長為2。設正八邊形邊長為a，其腰長為a，直角邊為$\frac{a}{\sqrt{2}}$，則正方形邊長=2×$\frac{a}{\sqrt{2}}$ + a= a$\sqrt{2}$ + a=2，解得a=2 - $\sqrt{2}$。正八邊形面積=2×$\frac{(a + 2a\sqrt{2} + a)}{2}×\frac{a}{\sqrt{2}}$（分割法）= (2a + 2a$\sqrt{2}$)×$\frac{a}{\sqrt{2}}$= 2a($1 + \sqrt{2}$)×$\frac{a}{\sqrt{2}}$= 2a2$\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$，代入a=2 - $\sqrt{2}$，a2=6 - 4$\sqrt{2}$，計算得面積=8 + 8$\sqrt{2}$。
16. 如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，設正六邊形ABCDEF的面積為S?，△ACE的面積為S?，則$\frac{S?}{S?}$=
2
.
答案：2
設正六邊形邊長為a，S?=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}a2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a2$。△ACE是等邊三角形，邊長為a$\sqrt{3}$，S?=$\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{3})2=\frac{3\sqrt{3}}{4}a2$，所以$\frac{S?}{S?}=2$。
