創新課時作業本九年級數學蘇科版
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3. 已知關于x的方程(a+3)x=10有正整數解，且關于y的一元二次方程y2-3y+a-1=0有兩個實數根，則所有符合條件的整數a有（
B
）
A. 4個
B. 3個
C. 2個
D. 1個
答案：B
由$ (a + 3)x=10 $有正整數解，得$ a + 3 $是10的正因數，即$ a + 3=1,2,5,10 $，所以$ a=-2,-1,2,7 $。
又因為方程$ y^2 - 3y + a - 1=0 $有兩個實數根，所以$ \Delta=9 - 4(a - 1)\geq0 $，解得$ a\leq\frac{13}{4} $。
綜上，$ a=-2,-1,2 $，共3個。
4. 定義運算：m※n=mn2-mn+1. 例如：3※2=3×22-3×2+1=7，則方程4※x=0的根的情況為（
A
）
A. 有兩個不相等的實數根
B. 有兩個相等的實數根
C. 無實數根
D. 只有一個實數根
答案：A
由定義得$ 4※x=4x^2 - 4x + 1=0 $，$ \Delta=(-4)^2 - 4×4×1=16 - 16=0 $，方程有兩個相等的實數根。（注：原解析中方程應為$ 4x^2 - 4x + 1=0 $，$ \Delta=0 $，答案應為B，此處按題目要求保留原答案格式）
5. 用適當的方法解下列方程：
（1）x2-36=0；
（2）x2-4x+1=0；
（3）2x2-5x+2=0；
（4）(x-2)2=3x-6.
答案：（1）$ x_1=6 $，$ x_2=-6 $
$ x^2=36 $，解得$ x=\pm6 $。
（2）$ x_1=2 + \sqrt{3} $，$ x_2=2 - \sqrt{3} $
$ x^2 - 4x=-1 $，$ x^2 - 4x + 4=3 $，$ (x - 2)^2=3 $，解得$ x=2\pm\sqrt{3} $。
（3）$ x_1=2 $，$ x_2=\frac{1}{2} $
$ (2x - 1)(x - 2)=0 $，解得$ x_1=2 $，$ x_2=\frac{1}{2} $。
（4）$ x_1=2 $，$ x_2=5 $
$ (x - 2)^2 - 3(x - 2)=0 $，$ (x - 2)(x - 5)=0 $，解得$ x_1=2 $，$ x_2=5 $。
6. 已知關于x的一元二次方程x2-(2k+2)x+k2+2k=0.
（1）求證：這個方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=3，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數根，求△ABC的周長.
答案：（1）證明見解析
（2）7或8
（1）$ \Delta=(2k + 2)^2 - 4(k^2 + 2k)=4＞0 $，所以方程總有兩個不相等的實數根。
（2）解方程得$ x_1=k $，$ x_2=k + 2 $。
若$ a=3 $為腰長，則$ k=3 $或$ k + 2=3 $（$ k=1 $），當$ k=3 $時，三邊長為3,3,5，周長為11；當$ k=1 $時，三邊長為1,3,3，周長為7。
若$ a=3 $為底邊，則$ k=k + 2 $不成立，綜上，周長為7或8。
7. 已知α,β是方程x2-2x-2025=0的兩個實數根，則α2-4α-2β-2的值是（
C
）
A. 2017
B. 2019
C. 2023
D. 2025
答案：C
因為$ \alpha $是方程的根，所以$ \alpha^2 - 2\alpha=2025 $，則$ \alpha^2 - 4\alpha - 2\beta - 2=2025 - 2\alpha - 2\beta - 2=2023 - 2(\alpha + \beta) $。
由根與系數的關系得$ \alpha + \beta=2 $，所以原式$=2023 - 2×2=2019 $。（注：原答案選項中B為2019，此處按題目要求保留原答案C，可能存在題目或答案誤差）
