創新課時作業本九年級數學蘇科版
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8. 已知關于x的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+3x + k^{2}-1=0$的一個根為0,則k等于（
B
）
A. 1
B. -1
C. $\pm1$
D. 0
答案：B
解析：將$x=0$代入方程得$k^{2}-1=0$，解得$k=\pm1$，又因為二次項系數$k - 1\neq0$，所以$k=-1$。
9. 已知關于x的方程:①$ax^{2}+bx + c=0$;②$x^{2}-4x=8 + x^{2}$;③$1+(x - 1)(x + 1)=0$;④$(k^{2}+1)x^{2}+kx + 1=0$中,一元二次方程的個數為（
B
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：①當$a=0$時不是一元二次方程；②化簡后為$-4x - 8=0$，是一元一次方程；③展開得$x^{2}=0$，是一元二次方程；④$k^{2}+1\neq0$，是一元二次方程，所以③④是，共2個。
10. 若關于x的一元二次方程$2x^{2}+(2k + 1)x-(4k - 1)=0$的二次項系數、一次項系數、常數項的和是0,則$k=$
2
.
答案：2
解析：二次項系數2，一次項系數$2k + 1$，常數項$-(4k - 1)$，由題意得$2+(2k + 1)+[-(4k - 1)]=0$，解得$k=2$。
11. (2025·江蘇泰州二模)已知$x=a$是方程$x^{2}-x - 1=0$的一個根,則代數式2025 - $2a^{2}+2a$的值是______
2023
.
答案：2023
解析：由方程得$a^{2}-a=1$，則$-2a^{2}+2a=-2(a^{2}-a)=-2$，所以$2025 - 2=2023$。
12. 根據下列問題,列出關于x的方程,并將其化為一元二次方程的一般形式.
(1)有一個三位數,它的個位數字比十位數字大3,十位數字比百位數字小2,三個數字的平方和的9倍比這個三位數小20,求這個三位數；
(2)如圖所示,在一幅長80 cm、寬50 cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如果要使整個掛圖的面積是5400$cm^{2}$,設金色紙邊的寬為x cm,求滿足x的方程.
答案：(1)設十位數字為x，則百位數字為$x + 2$，個位數字為$x + 3$，三位數為$100(x + 2)+10x+(x + 3)=111x + 203$，根據題意得$9[(x + 2)^{2}+x^{2}+(x + 3)^{2}]=111x + 203 - 20$，化為一般形式：$27x^{2}-63x - 184=0$
解析：展開平方和并整理方程。
(2)掛圖長為$80 + 2x$，寬為$50 + 2x$，面積方程為$(80 + 2x)(50 + 2x)=5400$，化為一般形式：$x^{2}+65x - 350=0$
解析：展開并化簡方程。
已知m是方程$x^{2}-2x - 3=0$的一個根,求$(m - 2)^{2}+(m + 3)(m - 3)$的值.
答案：原式$=m^{2}-4m + 4 + m^{2}-9=2m^{2}-4m - 5$，由方程得$m^{2}-2m=3$，則$2(m^{2}-2m)=6$，所以原式$=6 - 5=1$
已知a是一元二次方程$x^{2}+3x - 1=0$的實數根,求代數式$\frac{a - 3}{3a^{2}-6a}÷(a + 2-\frac{5}{a - 2})$的值.
答案：化簡原式：$\frac{a - 3}{3a(a - 2)}÷\frac{(a + 2)(a - 2)-5}{a - 2}=\frac{a - 3}{3a(a - 2)}×\frac{a - 2}{(a - 3)(a + 3)}=\frac{1}{3a(a + 3)}$，由方程得$a^{2}+3a=1$，即$a(a + 3)=1$，所以原式$=\frac{1}{3}$
