新課程能力培養九年級數學北師大版
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6. 在矩形 ABCD 中，AB = 6，AD = 8，點 M，N 分別在邊 AB，BC 上，且 AM = 2，BN = 3，點 P 是對角線 AC 上的一個動點，連接 PM，PN，則 PM + PN 的最小值為（ ）
A. 3
B. $\sqrt{34}$
C. $\sqrt{41}$
D. 10
答案：本題可通過作點 M 關于 AC 的對稱點 M'，利用軸對稱的性質將 PM + PN 轉化為 M'N，進而求出其最小值。
### 步驟一：求點 M 關于 AC 的對稱點 M'的位置
過點 M 作 ME⊥AC 于點 E，延長 ME 至 M'，使 EM' = EM，則點 M'為點 M 關于 AC 的對稱點，此時 PM = PM'，所以 PM + PN = PM' + PN。
根據兩點之間線段最短可知，當 M'、P、N 三點共線時，PM' + PN 的值最小，即 M'N 的長就是 PM + PN 的最小值。
### 步驟二：求出 AC 的長度
在矩形 ABCD 中，∠B = 90°，根據勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$，已知 AB = 6，AD = 8（BC = AD = 8），則$AC = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
### 步驟三：求出△AME 與△ABC 相似
因為∠AEM = ∠B = 90°，∠EAM = ∠BAC，所以△AME∽△ABC。
根據相似三角形的性質，對應邊成比例，則有$\frac{AE}{AB} = \frac{AM}{AC}$。
已知 AM = 2，AB = 6，AC = 10，代入可得$\frac{AE}{6} = \frac{2}{10}$，解得$AE = \frac{6}{5}$。
同理，$\frac{EM}{BC} = \frac{AM}{AC}$，即$\frac{EM}{8} = \frac{2}{10}$，解得$EM = \frac{8}{5}$。
### 步驟四：求出 M'F 的長度
過點 M'作 M'F⊥BC 于點 F。
因為∠M'EA = ∠ABC = 90°，∠EAM' = ∠BAC，所以△AM'E∽△ABC。
則$\frac{M'F}{AB} = \frac{AE}{AC}$，$\frac{M'F}{6} = \frac{\frac{6}{5}}{10}$，解得$M'F = \frac{18}{25}$。
又因為 EF = AE = \frac{6}{5}$，所以 NF = BN - BE = 3 - (6 - 2 - \frac{6}{5}) = 3 - (\frac{20}{5} - \frac{6}{5}) = 3 - \frac{14}{5} = \frac{1}{5}$。
### 步驟五：求出 M'N 的長度
在 Rt△M'FN 中，根據勾股定理$M'N = \sqrt{M'F^{2} + NF^{2}}$，$M'F = \frac{18}{25}$，NF = \frac{1}{5} = \frac{5}{25}$，則：
\[
\begin{align*}
M'N&=\sqrt{(\frac{18}{25})^{2} + (\frac{5}{25})^{2}}\
&=\sqrt{\frac{324}{625} + \frac{25}{625}}\
&=\sqrt{\frac{349}{625}}\
&=\sqrt{41}
\end{align*}
\]
所以 PM + PN 的最小值為$\sqrt{41}$，答案選C。
7. 如圖，在矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 6，點 P 為 AD 邊上一點，PE⊥AC 于點 E，PF⊥BD 于點 F，則 PE + PF 的值為（ ）
A. $\frac{12}{5}$
B. $\frac{24}{5}$
C. 3
D. 4
答案：本題可通過連接 OP，利用三角形面積的關系來求解 PE + PF 的值。
### 步驟一：求出矩形對角線的長度
在矩形 ABCD 中，∠BAD = 90°，根據勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$，已知 AB = 4，BC = 6，則$AC = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$，因為矩形的對角線相等且互相平分，所以$OA = OD = \frac{1}{2}AC = \sqrt{13}$。
### 步驟二：求出△AOD 的面積
因為矩形的對角線互相平分且相等，所以$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4}S_{矩形 ABCD}$。
已知$S_{矩形 ABCD} = AB×BC = 4×6 = 24$，則$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{4}×24 = 6$。
### 步驟三：根據三角形面積關系列出等式
連接 OP，$S_{\triangle AOD} = S_{\triangle AOP} + S_{\triangle DOP}$。
根據三角形面積公式$S = \frac{1}{2}ah$（其中 a 為底，h 為高），可得$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}OA·PE$，$S_{\triangle DOP} = \frac{1}{2}OD·PF$。
因為$OA = OD = \sqrt{13}$，所以$S_{\triangle AOD} = \frac{1}{2}OA·PE + \frac{1}{2}OD·PF = \frac{1}{2}OA(PE + PF)$。
### 步驟四：求出 PE + PF 的值
將$S_{\triangle AOD} = 6$，$OA = \sqrt{13}$代入$\frac{1}{2}OA(PE + PF) = 6$，可得$\frac{1}{2}×\sqrt{13}(PE + PF) = 6$，則$PE + PF = \frac{12}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{13} = \frac{24}{5}$。
所以 PE + PF 的值為$\frac{24}{5}$，答案選B。
8. 如圖，在矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 8，過點 C 作 CE⊥BD 交 BD 于點 E，交 AD 于點 H，過點 C 作 CF∥BD 交 AB 的延長線于點 F，連接 EF，求 EF 的長。
答案：本題可先求出相關線段的長度，再通過證明四邊形 BECF 是平行四邊形，進而求出 EF 的長。
### 步驟一：求出 BD 的長度
在矩形 ABCD 中，∠BAD = 90°，根據勾股定理$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}}$，已知 AB = 4，BC = 8（AD = BC = 8），則$BD = \sqrt{4^{2} + 8^{2}} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$。
### 步驟二：證明△DHC∽△DAB
因為 CE⊥BD，所以∠DEC = 90°，又因為∠BAD = 90°，∠HDC = ∠ADB，所以△DHC∽△DAB。
根據相似三角形的性質，對應邊成比例，則有$\frac{DH}{AB} = \frac{DC}{BD}$。
已知 AB = 4，DC = AB = 4，BD = 4\sqrt{5}$，代入可得$\frac{DH}{4} = \frac{4}{4\sqrt{5}}$，解得$DH = \frac{4\sqrt{5}}{5}$。
則$AH = AD - DH = 8 - \frac{4\sqrt{5}}{5}$。
### 步驟三：證明四邊形 BECF 是平行四邊形
因為 CF∥BD，BF∥CD，所以四邊形 BDCF 是平行四邊形，則 CF = BD = 4\sqrt{5}$，BF = DC = 4。
又因為 CE⊥BD，CF∥BD，所以 CE⊥CF。
在矩形 ABCD 中，BC = 8，根據勾股定理$BE = \sqrt{BC^{2} - CE^{2}}$，$DE = \sqrt{DC^{2} - CE^{2}}$。
通過面積法可得$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}BC·CD = \frac{1}{2}BD·CE$，即$\frac{1}{2}×8×4 = \frac{1}{2}×4\sqrt{5}·CE$，解得$CE = \frac{8\sqrt{5}}{5}$。
則$BE = \sqrt{8^{2} - (\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2}} = \frac{16\sqrt{5}}{5}$，$DE = \sqrt{4^{2} - (\frac{8\sqrt{5}}{5})^{2}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$。
因為 CF∥BD，所以四邊形 BECF 是平行四邊形。
### 步驟四：求出 EF 的長
在平行四邊形 BECF 中，EF = BC = 8。
所以 EF 的長為 8。
9. 如圖，矩形 ABCD 的對角線 AC 的垂直平分線分別與邊 AD，BC 交于點 E，F，連接 AF，CE，求證：四邊形 AECF 是菱形。
答案：本題可通過證明四邊形 AECF 的四條邊相等來證明它是菱形。
### 步驟一：證明△AOE≌△COF
因為 EF 是 AC 的垂直平分線，所以 AO = CO，∠AOE = ∠COF = 90°。
在矩形 ABCD 中，AD∥BC，所以∠EAO = ∠FCO。
在△AOE 和△COF 中，$\begin{cases}∠EAO = ∠FCO \\ AO = CO \\ ∠AOE = ∠COF\end{cases}$，根據 ASA（角 - 邊 - 角）定理可得△AOE≌△COF。
### 步驟二：得出 AE = CF
由△AOE≌△COF 可得 AE = CF。
又因為 AD∥BC，即 AE∥CF，所以四邊形 AECF 是平行四邊形。
### 步驟三：證明四邊形 AECF 是菱形
因為 EF 是 AC 的垂直平分線，所以 AE = CE。
在平行四邊形 AECF 中，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由于 AE = CE，所以四邊形 AECF 是菱形。
10. 在矩形 ABCD 中，點 E，F 分別是邊 BC，CD 上的點，且∠EAF = 45°，將△ADF 繞點 A 順時針旋轉 90°得到△ABG，求證：EF = EG。
答案：本題可通過證明△AEF≌△AEG 來得出 EF = EG。
### 步驟一：根據旋轉的性質得到相關結論
因為將△ADF 繞點 A 順時針旋轉 90°得到△ABG，所以△ADF≌△ABG。
則 AF = AG，DF = BG，∠DAF = ∠BAG。
### 步驟二：求出∠GAE 的度數
已知∠EAF = 45°，∠BAD = 90°，因為∠DAF = ∠BAG，所以∠GAE = ∠GAB + ∠BAE = ∠DAF + ∠BAE。
又因為∠BAD = ∠BAE + ∠EAF + ∠DAF = 90°，∠EAF = 45°，所以∠BAE + ∠DAF = 90° - 45° = 45°，即∠GAE = 45°。
### 步驟三：證明△AEF≌△AEG
在△AEF 和△AEG 中，$\begin{cases}AF = AG \\ ∠EAF = ∠GAE = 45° \\ AE = AE\end{cases}$，根據 SAS（邊 - 角 - 邊）定理可得△AEF≌△AEG。
### 步驟四：得出 EF = EG
由△AEF≌△AEG 可得 EF = EG。
