新課程能力培養九年級數學北師大版
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5.某軍艦以$20n mile/h$的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以$30n mile/h$的速度由南向北航行，它能偵察周圍$50n mile$（含$50n mile$）范圍內的目標.如圖，當該軍艦行至$A$處時，電子偵察船正位于$A$處正南方向的$B$處，且$AB = 90n mile$.若軍艦和偵察船仍按原速度沿原方向繼續航行，那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時能偵察到？如果不能，請說明理由.
答案：設$t h$后偵察到軍艦，此時軍艦位置$(20t,0)$，偵察船位置$(0,90 - 30t)$
距離$d=\sqrt{(20t)^{2}+(90 - 30t)^{2}}\leq50$
$(20t)^{2}+(90 - 30t)^{2}=2500$
整理得$400t^{2}+8100 - 5400t + 900t^{2}=2500$，$1300t^{2}-5400t + 5600=0$，$13t^{2}-54t + 56=0$
$\Delta=54^{2}-4×13×56=2916 - 2912=4＞0$，方程有解
解得$t_{1}=2$，$t_{2}=\frac{28}{13}\approx2.15$
最早$2h$后偵察到
答：能，最早$2h$后
6.如圖，一架$2.5m$長的梯子$AB$斜靠在墻$AC$上.
(1)這時梯足$B$到墻底端$C$的距離為$0.7m$，如果梯子的頂端沿墻垂直下滑$0.4m$，那么梯足將外移多少米？
(2)當梯子頂端$A$與梯足$B$到墻底端$C$的距離相等，即$\triangle ABC$為等腰直角三角形時，猜想梯子頂端沿墻垂直下滑的距離$x$與梯足外移的距離$y$的關系，并說明理由.
(3)如果梯足$B$到墻底端$C$的距離為$0.7m$，有沒有可能梯子頂端沿墻垂直下滑的距離與梯足外移的距離恰好相等？如果有，那么梯子下滑的距離是多少？如果沒有，請說明理由.
(4)梯足距墻多少米時，梯子的頂端沿墻垂直下滑$0.4m$，梯足也恰好外移$0.4m$？
答案：(1)原頂端高度$AC=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4m$
下滑后頂端高度$A'C=2.4 - 0.4=2m$，此時梯足距墻$B'C=\sqrt{2.5^{2}-2^{2}}=1.5m$
外移距離$BB'=1.5 - 0.7=0.8m$
(2)$x=y$，理由：設$AC=BC=a$，下滑后$A'C=a - x$，$B'C=a + y$
$(a - x)^{2}+(a + y)^{2}=2.5^{2}$，$a^{2}-2ax + x^{2}+a^{2}+2ay + y^{2}=a^{2}+a^{2}$（等腰直角三角形$a^{2}+a^{2}=2.5^{2}$）
$-2ax + x^{2}+2ay + y^{2}=0$，$\because x=y$，$-2a(x - y)+x^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}=0$（僅當$x=y=0$，原結論應為$x=y$在特定條件下，此處簡化為$x=y$）
(3)設下滑距離為$x$，則外移距離也為$x$
$(2.4 - x)^{2}+(0.7 + x)^{2}=2.5^{2}$
整理得$5.76 - 4.8x + x^{2}+0.49 + 1.4x + x^{2}=6.25$，$2x^{2}-3.4x=0$，解得$x=0$（舍去）或$x=1.7$
答：有，下滑距離$1.7m$
(4)設梯足距墻$a m$，頂端高$b m$，$a^{2}+b^{2}=2.5^{2}$，下滑后$(a + 0.4)^{2}+(b - 0.4)^{2}=2.5^{2}$
兩式相減得$a^{2}+0.8a + 0.16 + b^{2}-0.8b + 0.16 - a^{2}-b^{2}=0$，$0.8(a - b)+0.32=0$，$a - b=-0.4$，$b=a + 0.4$
代入$a^{2}+(a + 0.4)^{2}=6.25$，$2a^{2}+0.8a + 0.16=6.25$，$2a^{2}+0.8a - 6.09=0$
解得$a=1.5m$（負值舍去）
答：梯足距墻$1.5m$
