新課程能力培養九年級數學北師大版
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10. 如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD.O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OD.求證：
（1）∠BOD=∠C.
（2）四邊形OBCD是菱形.
答案：（1）證明：
∵OA=OB=OD，∴點A、B、D在以O為圓心的圓上，∠BOD=2∠BAD。
∵∠C=2∠BAD，∴∠BOD=∠C。
（2）證明：
連接OC，∵BC=CD，OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC（SSS），∠BOC=∠DOC，∠OBC=∠ODC。
∵∠BOD=∠C，∠BOC + ∠DOC=∠BOD，∠OBC + ∠ODC + ∠C=180°，∴∠OBC=∠BOC，BC=OC=OB，∴OB=BC=CD=OD，四邊形OBCD是菱形。
11. 如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，D是BC邊上一點，AD的垂直平分線EF分別交AC，AD，AB于點E，O，F，BC=2.
（1）當CD=√2時，求AE的長.
3/2
（2）當CD=2(√2 -1)時，求證：四邊形AEDF是菱形.
答案：（1）設AE=x，則EC=2 - x。
∵EF垂直平分AD，∴ED=AE=x。
在Rt△ECD中，EC2 + CD2=ED2，(2 - x)2 + (√2)2=x2，解得x=(3/2)。
（2）證明：
CD=2(√2 -1)，設AE=ED=x，EC=2 - x。
(2 - x)2 + [2(√2 -1)]2=x2，解得x=4 - 2√2。
DF=AF，EF垂直平分AD，OA=OD，∠AOE=∠DOF=90°，∠OAE=∠ODF，△AOE≌△DOF（ASA），AE=DF，ED=AF，四邊形AEDF為平行四邊形。
∵AE=ED，∴平行四邊形AEDF為菱形。
12. （2024·通遼）如圖，□ABCD的對角線AC，BD交于點O，以下條件不能證明□ABCD是菱形的是（
D
）
A. ∠BAC=∠BCA
B. ∠ABD=∠CBD
C. OA2+OB2=AD2
D. AD2+OA2=OD2
答案：D
A. ∠BAC=∠BCA，AB=BC，菱形；B. ∠ABD=∠CBD，AD=AB，菱形；C. OA2+OB2=AD2，AC⊥BD，菱形；D. AD2+OA2=OD2，無法直接判定鄰邊相等或對角線垂直，不能證明是菱形。
