新課程能力培養九年級數學北師大版
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4. 育光中學為美化校園，準備在東西長32 m、南北寬20 m的長方形土地上，修筑分別為東西與南北方向兩條寬度相等的長方形水泥道路，余下部分作為花壇，并且使花壇的總面積為540 m2。
(1) 請為學校設計出盡可能多的方案，并對各方案的優劣進行說明（畫出草圖）。
(2) 如果設道路的寬為x m，列出各種方案中關于x的方程，并求出x的值。
答案：(1) 方案一：兩條道路分別與長方形土地的邊平行（常見方案）。草圖：長方形土地ABCD，東西方向道路EF，南北方向道路GH，EF與GH相交，將土地分成四塊。優點是設計簡單，施工方便；缺點是可能在道路交匯處造成一定的空間浪費。
方案二：將兩條道路設計成斜交（特殊情況）。草圖：長方形土地內兩條斜交的道路，把土地分成復雜的幾塊。優點是可能在視覺上有一定的獨特性；缺點是施工難度較大，且土地利用可能不夠規整。
(2) 方案一：
根據題意可得$(32 - x)(20 - x)=540$，
展開式子得$640-32x - 20x+x^{2}=540$，
整理得$x^{2}-52x + 100 = 0$，
對于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-52,c = 100)$，根據求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-52)^{2}-4\times1\times100 = 2704 - 400 = 2304$，$x=\frac{52\pm\sqrt{2304}}{2}=\frac{52\pm48}{2}$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = 50$（因為$x\lt20$，所以舍去$x_2 = 50$）。
方案二：設斜交道路與邊的夾角等條件較復雜，若仍以道路寬為$x$，通過面積關系建立方程也可求解，但計算較為繁瑣，此處以方案一為主流方案。
5. (2024·西寧) 如圖，小區物業規劃在一個長60 m、寬22 m的矩形場地ABCD上修建一個小型停車場，陰影部分為停車位所在區域，兩側是寬為x m的道路，中間是寬為2x m的道路。如果陰影部分的總面積是600 m2，那么x滿足的方程是（ ）
A. $x^{2}-41x + 180 = 0$ B. $x^{2}-41x + 225 = 0$ C. $x^{2}-41x+30 = 0$ D. $x^{2}-41x - 270 = 0$
答案：由題意可知，停車場去掉道路后的長為$(60 - 2x)$m，寬為$(22 - 2x)$m，根據陰影部分面積為$600m^{2}$，可得$(60 - 2x)(22 - 2x)=600$，展開式子：$1320-120x-44x + 4x^{2}=600$，整理得$4x^{2}-164x+720 = 0$，兩邊同時除以$4$得$x^{2}-41x + 180 = 0$，所以答案是A。
6. (2023·東營) 如圖，老李想用長為70 m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2 m寬的門（建在EF處，另用其他材料）。
(1) 當羊圈的長和寬分別為多少時，能圍成一個面積為640 m2的羊圈？
(2) 羊圈的面積能達到650 m2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由。
答案：(1) 設矩形羊圈垂直于墻的一邊長為$x$m（$AB = x$m），則平行于墻的一邊長為$(70 + 2-2x)$m（$BC=72 - 2x$m）。
根據矩形面積公式$S = AB\times BC$，可得$x(72 - 2x)=640$，
展開式子得$72x-2x^{2}=640$，整理得$x^{2}-36x + 320 = 0$，
對于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-36,c = 320)$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4\times1\times320=1296 - 1280 = 16$，$x=\frac{36\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{36\pm4}{2}$，解得$x_1 = 16$，$x_2 = 20$。
當$x = 16$時，$72 - 2x=72-2\times16 = 40$；當$x = 20$時，$72 - 2x=72-2\times20 = 32$。
所以當長為40 m，寬為16 m或長為32 m，寬為20 m時，能圍成面積為$640m^{2}$的羊圈。
(2) 設矩形羊圈垂直于墻的一邊長為$x$m，則$x(72 - 2x)=650$，
展開式子得$72x-2x^{2}=650$，整理得$x^{2}-36x + 325 = 0$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-36)^{2}-4\times1\times325=1296 - 1300=-4\lt0$，因為$\Delta\lt0$，所以此方程無實數根，即羊圈的面積不能達到$650m^{2}$。
