新課程能力培養九年級數學北師大版
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一、選擇題（每小題3分，共18分）
1. 兩個全等的直角三角形不能肯定拼成的圖形是（
C
）
A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 等腰三角形
答案：C
解析：兩個全等直角三角形可拼成平行四邊形（一般情況）、矩形（直角邊重合）、等腰三角形（斜邊重合），但不一定能拼成菱形（需四邊相等，直角三角形邊長不一定滿足）.
2. 下列說法錯誤的是（
B
）
A. 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B. 鄰邊相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
D. 四個角都相等的四邊形是矩形
答案：B
解析：鄰邊相等的四邊形不一定是正方形，可能是菱形等，正方形需鄰邊相等且有一個直角的平行四邊形，B錯誤.
3. 如圖，把一個長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個角，為了得到一個銳角為$60^{\circ}$的菱形，剪口與折痕所成的角$\alpha$的度數應為（
C
）
A. $15^{\circ}$或$30^{\circ}$
B. $30^{\circ}$或$45^{\circ}$
C. $30^{\circ}$或$60^{\circ}$
D. $45^{\circ}$或$60^{\circ}$
答案：C
解析：長方形對折兩次后剪下一個角，菱形的銳角為$60^{\circ}$，則剪口與折痕夾角為$\frac {60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$或$\frac {180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ}$，C正確.
4. 如圖，在$\triangle ABC$中，點$D$，$E$，$F$分別在邊$BC$，$AB$，$CA$上，且$DE// CA$，$DF// BA$.下列四種說法：①四邊形$AEDF$是平行四邊形；②如果$\angle BAC=90^{\circ}$，那么四邊形$AEDF$是矩形；③如果$AD$平分$\angle BAC$，那么四邊形$AEDF$是菱形；④如果$\angle BAC=90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，那么四邊形$AEDF$是正方形.其中正確的個數是（
D
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析：①$DE// CA$，$DF// BA$，則四邊形$AEDF$是平行四邊形，正確；②$\angle BAC=90^{\circ}$，平行四邊形$AEDF$是矩形，正確；③$AD$平分$\angle BAC$，則$\angle EAD=\angle FAD$，又$DF// BA$，$\angle EAD=\angle ADF$，所以$\angle FAD=\angle ADF$，$AF = DF$，平行四邊形是菱形，正確；④由②③知是正方形，正確，共4個正確，D正確.
5. 如圖，邊長為1的正方形$ABCD$繞點$A$逆時針旋轉$30^{\circ}$得到正方形$AB'C'D'$，則它們的公共部分的面積等于（
B
）
A. $\frac {\sqrt {3}}{3}$
B. $1-\frac {\sqrt {3}}{3}$
C. $1-\frac {\sqrt {3}}{4}$
D. $\frac {1}{2}$
答案：B
解析：設$B'C'$與$CD$交于點$E$，連接$AE$.在$Rt\triangle ADE$和$Rt\triangle AB'E$中，$AD = AB'$，$AE = AE$，所以$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle AB'E$，$\angle DAE=\angle B'AE = 30^{\circ}$.設$DE = x$，則$AE = 2x$，由勾股定理得$x^{2}+1^{2}=(2x)^{2}$，解得$x=\frac {\sqrt {3}}{3}$，公共部分面積為$1 - 2×\frac {1}{2}×1×\frac {\sqrt {3}}{3}=1-\frac {\sqrt {3}}{3}$，B正確.
6. 如圖，四邊形$ABCD$為矩形紙片.把紙片$ABCD$折疊，使點$B$恰好落在$CD$邊的中點$E$處，折痕為$AF$.若$CD = 6$，則$AF$等于（
B
）
A. $3\sqrt {3}$
B. $4\sqrt {3}$
C. $4\sqrt {2}$
D. 8
答案：B
解析：$CD = 6$，則$AB = 6$，$DE=EC = 3$.設$BF = EF = x$，$AD = BC = y$，則$FC = y - x$.在$Rt\triangle ECF$中，$EC^{2}+FC^{2}=EF^{2}$，即$3^{2}+(y - x)^{2}=x^{2}$.在$Rt\triangle ADE$中，$AE = AB = 6$，$AD^{2}+DE^{2}=AE^{2}$，$y^{2}+3^{2}=6^{2}$，解得$y = 3\sqrt {3}$.代入$9+(3\sqrt {3}-x)^{2}=x^{2}$，解得$x = 2\sqrt {3}$，$AF=\sqrt {AB^{2}+BF^{2}}=\sqrt {6^{2}+(2\sqrt {3})^{2}}=\sqrt {36 + 12}=\sqrt {48}=4\sqrt {3}$，B正確.
