新課程能力培養九年級數學北師大版
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10. （2024·廣西）如圖，兩張寬度均為3 cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°，則重合部分構成的四邊形ABCD的周長為
8√3 cm
.
答案：8√3 cm
過A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，紙條寬度3 cm，AE=AF=3 cm。
∠B=60°，AB=AE/sin60°=3/(√3/2)=2√3 cm。
∵ABCD為平行四邊形，面積=BC×AE=CD×AF，BC=CD，四邊形ABCD為菱形，周長=4×2√3=8√3 cm。
11. （2024·海南）如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=120°，邊AB在數軸上，將AC繞點A順時針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3，則點A表示的數是（
D
）
A. 1
B. 1 - √3
C. 0
D. 3 - 2√3
答案：D
菱形ABCD，∠ABC=120°，AC=2×AB×sin60°=2×2×(√3/2)=2√3。
旋轉后AE=AC=2√3，點E表示3，點A表示3 - 2√3。
12. （2023·云南）如圖，在□ABCD中，AE，CF分別是∠BAD，∠BCD的平分線，且E，F分別在邊BC，AD上，AE=AF.
（1）求證：四邊形AECF是菱形.
（2）若∠ABC=60°，△ABE的面積等于4√3，求平行線AB與DC間的距離.
答案：（1）證明：
∵□ABCD，∠BAD=∠BCD，AE、CF為角平分線，∴∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠FCB，AE//CF。
∵AF//EC，∴四邊形AECF為平行四邊形。
∵AE=AF，∴平行四邊形AECF為菱形。
（2）設AB與DC間距離為h，過A作AG⊥BC于G，AG=h。
∠ABC=60°，設BE=x，AB=2x，AG=√3 x。
S△ABE=(1/2)×BE×AG=(1/2)×x×√3 x=4√3，解得x=2√2，h=√3 x=2√6。
