新課程能力培養九年級數學北師大版
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7.設$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-2\sqrt {2}x-3=0$的兩個根，利用根與系數的關系求下列各式的值.
(1)$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}$;
(2)$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}$.
答案：(1)由根與系數關系得$x_{1}+x_{2}=2\sqrt{2}$，$x_{1}x_{2}=-3$
$x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=-3×2\sqrt{2}=-6\sqrt{2}$
(2)$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(2\sqrt{2})^{2}-2×(-3)}{-3}=\frac{8 + 6}{-3}=-\frac{14}{3}$
8.若關于$x$的一元二次方程$x^{2}+kx+4k^{2}-3=0$的兩個實數根分別是$x_{1},x_{2}$，且滿足$x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$，求$k$的值.
答案：由根與系數關系得$x_{1}+x_{2}=-k$，$x_{1}x_{2}=4k^{2}-3$
$\because x_{1}+x_{2}=x_{1}x_{2}$
$\therefore -k=4k^{2}-3$，即$4k^{2}+k - 3=0$
解得$k_{1}=\frac{3}{4}$，$k_{2}=-1$
$\Delta=k^{2}-4(4k^{2}-3)=-15k^{2}+12$
當$k=\frac{3}{4}$時，$\Delta=-15×(\frac{3}{4})^{2}+12=\frac{21}{16}＞0$
當$k=-1$時，$\Delta=-15×(-1)^{2}+12=-3＜0$（舍去）
$\therefore k=\frac{3}{4}$
9.已知關于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$.
(1)求證：無論$m$取何值，方程都有兩個不相等的實數根.
(2)設該方程的兩個實數根為$a,b$，若$(2a+b)(a+2b)=20$，求$m$的值.
答案：(1)$\Delta=(2m + 1)^{2}-4(m^{2}+m)=4m^{2}+4m + 1-4m^{2}-4m=1＞0$
$\therefore$無論$m$取何值，方程都有兩個不相等的實數根
(2)由根與系數關系得$a + b=2m + 1$，$ab=m^{2}+m$
$(2a + b)(a + 2b)=2a^{2}+5ab + 2b^{2}=2(a + b)^{2}+ab$
$\therefore 2(2m + 1)^{2}+m^{2}+m=20$
整理得$9m^{2}+9m - 18=0$，即$m^{2}+m - 2=0$
解得$m_{1}=1$，$m_{2}=-2$
