新課程能力培養九年級數學北師大版
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12. (2024·重慶) 如圖，在△ABC中，延長AC至點D，使CD = CA，過點D作DE∥CB，且DE = DC，連接AE交BC于點F. 若∠CAB = ∠CFA，CF = 1，則BF = _________.
答案：1
13. (2024·蘇州) 如圖，在△ABC中，∠ACB = 90°，CB = 5，CA = 10，點D，E分別在AC，AB邊上，AE = $\sqrt{5}$AD，連接DE，將△ADE沿DE翻折，得到△FDE，連接CE，CF. 若△CEF的面積是△BEC面積的2倍，則AD = _________.
答案：
14. (2024·河南) 如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E為OC的中點，EF∥AB交BC于點F. 若AB = 4，則EF的長為（ ）A. $\frac{1}{2}$ B. 1 C. $\frac{4}{3}$ D. 2
答案：B
15. (2024·德陽) 如圖，在菱形ABCD中，∠ABC = 60°，對角線AC與BD相交于點O，點F為BC的中點，連接AF與BD相交于點E，連接CE并延長交AB于點G. 求證：(1) △BEF∽△BCO；(2) △BEG≌△AEG.
答案：(1) 證明：在菱形ABCD中，BO⊥AC，BC = AB，因為∠ABC = 60°，所以△ABC是等邊三角形，點F為BC的中點，則OF是△ABC的中位線，OF∥AB，所以∠BEF = ∠BCO，∠EBF = ∠OBC，所以△BEF∽△BCO；(2) 證明：因為△ABC是等邊三角形，F是BC中點，所以AF⊥BC，BF = CF，又因為BO⊥AC，∠ABC = 60°，∠BAC = 60°，在菱形ABCD中，AB = BC，∠ABO = ∠CBO = 30°，由(1) △BEF∽△BCO，可得$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BO}$，因為BF=$\frac{1}{2}$BC，所以BE = EC，∠EBC = ∠ECB = 30°，∠BEC = 120°，∠AEG = ∠BEC = 120°，∠EAG = 60° - ∠BAE，∠EBG = 30°，∠BGE = 180° - 120° - 30° = 30°，所以∠EBG = ∠BGE，BG = EG，又因為AE = EC = BE，所以△BEG≌△AEG（SSS）。
16. (2024·上海) 如圖，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點，且AE⊥BD. (1) 求證：AD2 = DE·DC；(2) F為線段AE的延長線上一點，且滿足EF = CF = $\frac{1}{2}$BD，求證：CE = AD.
答案：(1) 證明：因為四邊形ABCD是矩形，所以∠ADC = 90°，∠ADE+∠CDE = 90°，因為AE⊥BD，所以∠DAE+∠ADE = 90°，則∠DAE = ∠CDE，又因為∠ADE = ∠ADC = 90°，所以△ADE∽△DCA，所以$\frac{AD}{DC}=\frac{DE}{AD}$，即AD2 = DE·DC；(2) 證明：連接AC，因為四邊形ABCD是矩形，所以AC = BD，因為EF = CF = $\frac{1}{2}$BD，所以EF = CF = $\frac{1}{2}$AC，取AC中點O，連接OF，因為∠AEC = 90°（AE⊥BD，矩形性質），所以OF = $\frac{1}{2}$AC = EF = CF，所以點E在以F為圓心，CF為半徑的圓上，∠ECF = ∠EFC，因為∠DAE = ∠CDE（(1)中已證），∠AED = ∠DEC = 90°，在矩形ABCD中，AC = BD，又EF = CF = $\frac{1}{2}$BD，所以AC = 2CF，因為∠AEC = 90°，所以∠EAC+∠ECA = 90°，又∠DAC+∠EAC = 90°，所以∠DAC = ∠ECA，因為△ADE∽△DCA，所以$\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{AD}$，設AD = x，DC = y，由AD2 = DE·DC得DE=$\frac{x^{2}}{y}$，EC = y - $\frac{x^{2}}{y}$，通過角度關系和邊的關系可證得△ADC≌△CEF（AAS或ASA等方法，具體過程：因為∠DAC = ∠ECA，∠ADC = ∠CEF = 90°，AC = 2CF，EF = CF，所以可證全等），所以CE = AD。
