新課程能力培養九年級數學北師大版
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10. （2024·方正）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，點E是BC邊上一點，F是BD上一點，連接EF，若△DEF與△DEC關于直線DE對稱，則△BEF的周長是（
A
）
A. 2$\sqrt{2}$ B. 2$\sqrt{2}$ C. 4 D. $\sqrt{2}$
答案：C，解析：∵正方形ABCD邊長2，BD是對角線，∠DBC=45°，△DEF與△DEC關于DE對稱，∴DF=DC=2，EF=EC，BD=2$\sqrt{2}$，BF=BD-DF=2$\sqrt{2}$-2，△BEF周長=BE+EF+BF=BE+EC+BF=BC+BF=2+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$（錯誤），正確解析：設EC=EF=x，BE=2-x，BF=BD-DF=2$\sqrt{2}$-2，∠EBF=45°，由余弦定理EF2=BE2+BF2-2BE·BFcos45°，x2=(2-x)2+(2$\sqrt{2}$-2)2-2(2-x)(2$\sqrt{2}$-2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得x=2$\sqrt{2}$-2，周長=2-x+x+2$\sqrt{2}$-2=2$\sqrt{2}$，選A（原答案A、B重復，應為2$\sqrt{2}$）
11. （2024·瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點E，F分別是邊AB，BC上的動點，且滿足AE=BF，AF與DE相交于點O，點M是DF的中點，G是邊AB上的點，AG=2BG，則OM+$\frac{1}{2}$FG的最小值是（
B
）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
答案：B，解析：取BF中點N，$\frac{1}{2}$FG=NG，OM+$\frac{1}{2}$FG=OM+NG，通過構造全等和對稱，當O、M、N共線時最小，最小值為5，選B
