新課程能力培養九年級數學北師大版
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7. 根據下列條件判斷Rt△ABC和Rt△A'B'C'是否相似，其中∠C = ∠C' = 90°。
(1) AC = 14 cm，BC = 6 cm，A'C' = 7 cm，B'C' = 3 cm。
(2) AB = $\sqrt{6}$ cm，AC = $\sqrt{3}$ cm，A'B' = $\sqrt{30}$ cm，A'C' = $\sqrt{15}$ cm。
答案：(1) 因為$\frac{AC}{A'C'}=\frac{14}{7}=2$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{3}=2$，所以$\frac{AC}{A'C'}=\frac{BC}{B'C'}$，又因為∠C = ∠C' = 90°，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可知Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。
(2) 因為$\frac{AC}{A'C'}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，所以$\frac{AC}{A'C'}=\frac{AB}{A'B'}$，又因為∠C = ∠C' = 90°，根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可知Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。
8. 如圖，在△ABC中，AB = AC，點E在邊BC上移動（點E不與點B，C重合），滿足∠DEF = ∠B，且點D，F分別在邊AB，AC上。
(1) 求證：△BDE∽△CEF。
(2) 當點E移動到BC的中點時，求證：FE平分∠DFC。
答案：(1) 因為AB = AC，所以∠B = ∠C。
又因為∠B + ∠BDE + ∠BED = 180°，∠DEF + ∠BED + ∠CEF = 180°，且∠DEF = ∠B，所以∠BDE = ∠CEF。
在△BDE和△CEF中，∠B = ∠C，∠BDE = ∠CEF，所以△BDE∽△CEF。
(2) 因為△BDE∽△CEF，所以$\frac{BE}{CF}=\frac{DE}{EF}$。
因為點E是BC的中點，所以BE = CE，那么$\frac{CE}{CF}=\frac{DE}{EF}$，即$\frac{DE}{CE}=\frac{EF}{CF}$。
又因為∠DEF = ∠B = ∠C，所以△DEF∽△ECF。
所以∠DFE = ∠EFC，即FE平分∠DFC。
9. 如圖，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，AF平分∠DAC，分別交DC，BC的延長線于點E，F. 連接DF，過點A作AH∥DF，分別交BD，BF于點G，H。
(1) 求DE的長。
(2) 請說明：∠1 = ∠DFC。
答案：(1) 在矩形ABCD中，AD = BC = 3，CD = AB = 4，∠ADC = 90°。
因為AF平分∠DAC，所以∠DAE = ∠CAE。
因為AD∥CF，所以∠DAE = ∠F，所以∠CAE = ∠F，所以AC = CF。
在Rt△ADC中，$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，所以CF = 5。
因為AD∥CF，所以△ADE∽△FCE，設DE = x，則CE = 4 - x，$\frac{DE}{CE}=\frac{AD}{CF}$，即$\frac{x}{4 - x}=\frac{3}{5}$，
5x = 3(4 - x)，5x = 12 - 3x，8x = 12，解得$x=\frac{3}{2}$，所以DE = $\frac{3}{2}$。
(2) 因為AH∥DF，所以∠1 = ∠ADF。
因為AD∥CF，所以∠ADF = ∠DFC，所以∠1 = ∠DFC。
