新課程能力培養九年級數學北師大版
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10. (2024·濱州) 如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，添加一個條件使△ADE∽△ACB，則這個條件可以是____ (寫出一種情況即可).
答案：∠ADE = ∠ACB（答案不唯一）
11. (2024·廣州) 如圖，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE = 3，EC = 6，CF = 2. 求證：△ABE∽△ECF.
答案：證明：在正方形ABCD中，∠B=∠C = 90°，
因為BC = BE + EC=3 + 6 = 9，CD = BC = 9，
又因為CF = 2，所以DF = 9 - 2 = 7，
rac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}，\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}，
所以\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}，
又因為∠B = ∠C，所以△ABE∽△ECF.
12. (2023·伊春) 如圖1，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，連接FG，FH. 易證：FH=\sqrt{3}FG.
(1) 如圖2，若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC = ∠DAE = 90°，其他條件不變，判斷FH和FG之間的數量關系，寫出你的猜想并證明.
(2) 如圖3，若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC = ∠DAE = 120°，其他條件不變，判斷FH和FG之間的數量關系，寫出你的猜想并證明.
答案：(1) 猜想：FH = FG.
證明：連接BD，CE.
因為△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC = ∠DAE = 90°，
所以AB = AC，AD = AE，∠BAD=∠CAE，
所以△BAD≌△CAE（SAS），則BD = CE.
因為點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，
根據三角形中位線定理，FG=\frac{1}{2}CE，FH=\frac{1}{2}BD，
所以FH = FG.
(2) 猜想：FH=\sqrt{3}FG.
證明：連接BD，CE.
因為△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC = ∠DAE = 120°，
設AB = AC = a，AD = AE = b，
由余弦定理可得：
BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}-2AB·AD·cos∠BAD，CE^{2}=AC^{2}+AE^{2}-2AC·AE·cos∠CAE，
因為∠BAD = ∠CAE，所以BD = CE.
又因為點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，
根據三角形中位線定理，FG=\frac{1}{2}CE，FH=\frac{1}{2}BD.
過A作AM⊥BC于M，在等腰△ABC中，∠BAC = 120°，則∠B = 30°，BM=\frac{\sqrt{3}}{2}a，BC=\sqrt{3}a，
同理在等腰△ADE中也可進行相關計算，
在△ABC和△ADE中，$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，∠BAC = ∠DAE，所以△BAD∽△CAE，
$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}$，
因為點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，FG=\frac{1}{2}CE，FH=\frac{1}{2}BD，
在等腰△ABC中，$\frac{AB}{AC}=1$，且由幾何關系可得$\frac{FH}{FG}=\sqrt{3}$，即FH=\sqrt{3}FG.
